Bài toán liên quan về số chính phương, số nguyên tố trong toán lớp 6

[Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6] – Bài toán liên quan về số chính phương, số nguyên tố trong toán lớp 6.

Em Phạm Hưng học sinh lớp 6 trường THCS Lê Quý Đôn – Hải Dương có hỏi bài toán 6:

Bài 1: Số 100! khi phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng :

100! = 2^x.3^y.5^z.7^t… với x; y; z; t thuộc N*. Tìm x, y, z, t .

Bài 2: Cho A = 1! +2! +3! +4! +5! +6! +…+2015!

1. Tìm chữ số tận cùng của A
2. Chứng minh A không phải là số chính phương
3. Chứng minh A là hợp số.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Trong bài toán này, em tìm các số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 100. Sau tìm các số mũ, chính là x, y, z, t, …

– Bước 1: Các số nguyên tố nhỏ hơn 100 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

– Bước 2: Tìm các số x, y, z, t.

+) Ứng với lũy thừa cơ số 2 có số mũ là x:
=> x = [100/2] + [100/4] + [100/8] + [100/16] + [100/32] + [100/64]
=> x = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 99.

+) Ứng với lũy thừa cơ số 3 có số mũ là y:
=> y = [100/3] + [100/9] + [100/27] + [100/81]
=> y = 33 + 11 + 3 + 1 = 48

+) Ứng với lũy thừa cơ số 5 có số mũ là z:
=> z = [100/5] + [100/25]
=> z = 20 + 4 = 24

+) Ứng với lũy thừa cơ số 7 có số mũ là t:
=> t = [100/7] + [100/49]
=> t = 14 + 2 = 16

Bài 2:

a) Ta có: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.
Từ 5!, 6!, …, 2015! có chữ số tận cùng bằng 0 nên suy ra:

A có chữ số tận cùng bằng 3.

b) Vì A có chữ số tận cùng bằng 3 nên A không phải là số chính phương.

c). Ta có: 1! + 2! = 1 + 2 = 3 chia hết cho 3.

Ta có n! chia hết cho 3 với ( 3=< n <= 2015) nên suy ra:
A chia hết cho 3
=> A là hợp số (đpcm).